摘要: 　　佛塔是中国古建筑中造型最为丰富多样的建筑类型之一。清华大学建筑学院王南老师撰写《规矩方圆 浮图万千——中国古代佛塔构图比例探析》一文，通过对 6大类型共计 41 座佛塔实例进行几何作图与实测数据分析，发现并指出中国历代佛塔的平、立、剖面设计中广泛运用了基于方圆作图的√2构图比例，而佛塔各项基本长度间则大多存在清晰而简洁的比例关系。 ...

　　佛塔是中国古建筑中造型最为丰富多样的建筑类型之一。清华大学建筑学院王南老师撰写《规矩方圆 浮图万千——中国古代佛塔构图比例探析》一文，通过对 6大类型共计 41 座佛塔实例进行几何作图与实测数据分析，发现并指出中国历代佛塔的平、立、剖面设计中广泛运用了基于方圆作图的√2构图比例，而佛塔各项基本长度间则大多存在清晰而简洁的比例关系。同时通过分析 9 座日本楼阁式木塔的构图比例，证明了√2比例以及佛塔总高与首层通面阔之间的比例关系，不仅是中国古代佛塔的基本构图手法，更影响传播到日本，成为日本楼阁式木塔的普遍构图规律。这一研究进一步加深了我们对中国古代建筑设计中的方圆作图比例所反映的特有的“天圆地方”的宇宙观念以及中国古人追求天、地、人和谐的文化理念的认识。

规矩方圆 浮图万千

中国古代佛塔构图比例探析

王 南

引 言

　　佛塔是中国古建筑中造型最为丰富多样的建筑类型之一，常常作为中国古代城市、村镇或佛寺的标志性建筑出现。梁思成曾赞誉道：“在表现并点缀中国风景的重要建筑中，塔的形象之突出是莫与伦比的……”依外观造型，中国古代佛塔可大致分为楼阁式塔、密檐式塔、单层塔、覆钵式塔（即喇嘛塔）、金刚宝座塔、楼阁与覆钵混合式塔等6大类（图1）。

图1 梁思成《图像中国建筑史》中的“历代佛塔型类演变图”

　　佛塔除了其最基本的宗教功能之外，同时亦是具有强烈的标志性以及鲜明的象征含义的造型艺术品，对其构图比例的研究因此显得尤为重要。本文在前人研究的基础上，通过对以上所述6个类型、41座佛塔实例（外加9例日本楼阁式木塔，见附录）进行构图比例分析，发现并指出普遍存在于中国古代佛塔（包括日本楼阁式木塔）平、立、剖面设计中的基于方圆作图的构图比例——尤其是√2比例；除此之外，还总结了佛塔总高与首层塔身周长、通面阔（或总宽、直径）、边长之间常见的清晰而简洁的比例关系。

　　如果将中国古代佛塔中广泛运用的方圆作图比例与北宋《营造法式》第一幅插图即“圆方方圆图”相互参照，结合距今五千年的辽宁牛河梁红山文化圜丘遗址中已经包含精确的方圆作图比例这一事实，我们将会对中国古代建筑设计中的方圆作图比例及其所反映的中国古人特有的“天圆地方”的宇宙观念以及追求天、地、人和谐的文化理念有进一步的深刻认识。

1 中国古代佛塔构图比例的主要研究成果

　　

　　对中国古代佛塔构图比例之研究始于中国营造学社的先辈们，特别是梁思成、刘敦桢、陈明达和龙庆忠等学者。

　　梁思成在《山西应县佛宫寺辽释迦木塔》（约1935年）、《浙江杭县闸口白塔及灵隐寺双石塔》（约1936年）等调查报告中，尤为注重测量、计算木构或石仿木构佛塔中各类大木构件尺寸的材、分°值，并且将实测结果与《营造法式》“大木作制度”的相关规定进行比较分析，对研究中国古代木结构建筑的“材分°制”起到了重要的作用；此外，报告中也涉及一些对其他构件的比例分析，如柱高与柱径之比，飞子长与椽长之比等。在《图像中国建筑史》（1946年完稿）一书中，梁思成开始注意密檐式砖石塔的比例问题，并指出密檐式塔的“各层檐总高度常为塔身的两倍”。

　　刘敦桢是中国古代佛塔构图比例研究的重要开拓者之一，尤其是其《河北定县开元寺塔》（约1936年）一文，首次援引《营造法原》等文献，讨论塔高与塔围（包括塔台基周长、首层塔身周长）的比例关系。他指出：《营造法原》称“塔盘外阶沿口周围总数，即塔葫芦尖至地高低”，即指塔高等于阶台周长；而河北易县宋千佛塔有明正统十四年《重修舍利塔记》称“塔高一百又十尺，围以称之”，《图书集成》神异典记述山西应县木塔亦称“塔高三十六丈，周围如之”，都是指塔高等于第一层塔身周长。而经过测量，北宋开元寺料敌塔的塔高与第一层塔身周长正好相等，符合文献中塔高等于塔围（第一层塔身周长）的记载。当然，出于严谨考虑，刘敦桢称“不过此塔的宝珠，曾经明嘉靖间一度重修，是否和原来的高度相等，实属疑问。故此问题决非今日根据少数之例所能解决的。”此文可谓是中国古塔构图比例研究的一篇开创性文献。

　　陈明达在上述研究的基础上，对应县木塔的构图比例进行了从整体到局部、全面而深入的研究，开创了一种中国古代木结构建筑设计方法研究的重要范式。他在《应县木塔》（1966年）一书中指出，应县木塔第三层每面面阔8.83米（后来傅熹年指出正好合辽代3丈），为木塔设计的重要模数，全塔许多重要尺寸由此确定；尤其塔之总高（67.31米）约为8.83米这一模数的7.625倍，同时也接近第三层平面（边长8.83米的八角形）的内切圆周长——这一结果与《营造法原》中提及的塔高与塔围的比例关系接近（图2）。

　　

图2 陈明达的应县木塔立面构图分析

　　龙庆忠在《中国塔之数理设计手法及建筑理论》（1990年）一文中，对一批中、日古代佛塔（包括楼阁式塔14例、密檐式塔9例）的比例关系进行了详细分析，尤其是根据《营造法原》（第16章“杂俎”）记载的“测塔高低：可量外塔盘外阶沿之周围总数，即塔总高数（自葫芦尖至地坪）”，对一系列佛塔的总高与地面周长之比例进行讨论（这一点可以看作对刘敦桢的定县料敌塔、陈明达的应县木塔比例研究的延续），并发现若干方塔总高等于4倍底层边长、八角塔总高等于8倍底层边长的实例。龙庆忠还进一步探讨了佛塔比例关系的文化内涵，认为塔高、塔围可与天高、地载相对应，并且进一步象征天圆与地方：“本文首先论塔高与其地面上周长的比例，然后又将塔高换成天高，将塔的地面上的周长换成地载，再后把天之所覆换成天圆，地之所载换成地方。”

　　我们虽然不能确定古人在进行佛塔设计时，令塔高与塔围成一定比例关系是否真的具有“天圆地方”之寓意，但下文将要揭示的大量佛塔中方圆作图比例的运用，却似乎可与此说相互呼应。

　　与龙庆忠的分析类似，王寒枫的《泉州东西塔》（1992年）一书亦指出泉州开元寺东、西塔总高与一层周长实测数据十分接近。

　　傅熹年在前人研究之上更进一步，在其《中国古代城市规划、建筑群布局及建筑设计方法研究》（2001年）一书中，对南北朝、唐、宋、辽时期的15例楼阁式塔和9例密檐式塔进行了模数与比例分析，并绘制了一批佛塔的立、剖面分析图。傅熹年在陈明达应县木塔研究的基础上，进一步指出楼阁式塔设计的基本方法，即以一层柱高和中间层每面面阔为主要模数——“在唐、宋、辽代建塔使用一层柱高（H1）和塔中间一层的一面面阔（A）为模数，从发展上看，在盛唐以前只以H1为模数，到中唐时才出现以A为模数和H1与A兼用的情况，并沿用到宋和辽代”；“以塔中间一层每面之宽为塔在高度和宽度上的模数：塔高（底层柱脚至塔顶檐口）为中间一层每面之宽的倍数；塔每层面阔以中间一层为基准，上下各层递减或递加一定尺寸”。傅熹年认为中间层之面宽近于取底层面宽与顶层面宽之中间值，较能正确反映塔身高宽比的真实情况（图3）。在《日本飞鸟、奈良时期建筑中所反映出的中国南北朝、隋、唐建筑特点》（1992年）一文中，傅熹年则分析了日本飞鸟、奈良时期木构佛塔中的以材、分°为模数或分模数，以首层柱高或中间层通面阔为扩大模数等设计手法；并且指出塔高与一层柱高（或副阶柱高）H1的模数关系，即通常五重塔高7H1，三重塔高5H1；并且该文认为以上设计手法渊源于中国南北朝、隋、唐时期的佛塔。需要指出的是，上述研究中对于“塔高”的界定是指台明至顶层檐口的距离（有时至塔刹底部，包含顶层屋顶），尚未能涉及包含台基、塔刹（或屋顶加塔刹）在内的佛塔整体造型比例关系，而佛塔的整体造型比例正是本文关注的重点。

图3 傅熹年的辽庆州白塔立面构图分析

　　综上可知，前人的研究已逐步揭示出：中国古代楼阁式塔和密檐式塔皆有着较为成熟的构图方法，尤其是以首层柱高、中间层边长（即每面面阔）为模数控制塔身各主要尺寸；此外，塔高与塔围（首层塔身周长或台基周长）之间很可能有着一些常用的比例关系。

2 方圆作图比例

　　

　　

　　在前人大量富于启发性的研究基础上，本文对佛塔构图比例的探析试图再进一步：一方面，将研究对象拓展到几乎所有主要类型的佛塔（包括6个类型、总计41个实例）；更重要的是，尤其关注佛塔总高与首层塔身通面阔（或总宽、直径）、边长之间的比例关系，以及佛塔总高与局部高度之间的比例关系,并且由此发现中国古代佛塔的总高、顶层檐高、首层檐高，首层塔身周长、通面阔（或总宽、直径）与边长，阶基周长、通面阔（或总宽、直径）、边长等尺寸，及其相互之间的比例关系，皆是佛塔设计构图中的重要因素。而在佛塔设计所蕴含的多种构图比例之中，尤以基于方圆作图的比例——√2比例，运用最为广泛，几乎遍及各种类型、各个时代的典型实例之中。

　　√2比例是正方形和圆形之间最基本的比例关系之一，也是运用方圆作图可以轻易实现的一种构图比例——正方形的边长与其外接圆直径（即该正方形对角线长）之比即为1:√2（图4）。√2是中国古代都城、建筑群和单体建筑中运用得最为广泛的构图比例之一。根据笔者研究，√2比例广泛存在于都城规划与宫殿、坛庙、墓葬、寺庙、民居、祠堂、园林等各类建筑群布局中，以及各类单体建筑设计中，包括殿堂、厅堂、门屋、楼阁、城楼、佛塔、经幢、牌楼、牌坊、棂星门、亭榭、墓祠、墓阙、墓表、祭坛、石窟、无梁殿、铜殿、石碑、华表等，笔者另有专著对其进行深入论述。

图4 方圆作图基本比例——√2

　　需要指出的是，今天只要具备中学数学知识的人即知，√2为无理数（即无限不循环小数）。但中国古人并不一定认识“无理数”这一概念，所以在运用这些方圆作图产生的比例时，常常是以整数比近似值取代之——最典型者，即√2可以用“方五斜七”或者“方七斜十”这类广为流传的口诀来表示，意思是正方形边长为5，则对角线长为7；边长为7，则对角线长为10。有趣的是，7:5=1.4，10:7≈1.4286，二者的平均值为1.4143，与√2（≈1.4142）极为接近——因此，古人实际上是以靠近√2上下的两组简单整数比来取而代之（图5）。

　　

图5 方圆作图基本比例√2的近似作图——方五斜七与方七斜十

　　较早提出中国古代建筑设计中所蕴含的√2比例的学者是王贵祥，他在《√2与唐宋建筑柱檐关系》（1984）、《唐宋单檐木构建筑平面与立面比例规律的探讨》（1989）、《唐宋单檐木构建筑比例探析》（1998）等论文中，探讨了中国唐宋木构建筑中蕴含的√2构图比例，包括檐高与柱高、通面阔与通进深、明间面阔与次间面阔之√2比例关系等（图6）；并且认为这一构图比例有可能广泛运用于唐宋单檐木构建筑以外的更多建筑类型、更长历史时期以及建筑群体关系和庭院尺度之中，有待深入探讨。特别是在《唐宋单檐木构建筑比例探析》一文中，王贵祥更进一步将√2比例阐释为正方形边长与其外接圆直径之比，于是与中国古人“天圆地方”的观念联系起来，认为“天圆地方又恰恰浓缩了古代中国人‘天覆地载’的朴质的宇宙观……唐、宋建筑单檐建筑中较多存在的√2：1的比例关系，很可能就暗含了檐部象征天宇、立柱象征大地的内涵。”

图6 王贵祥的唐宋建筑檐高与柱高比例分析图

　　之后，张十庆对北宋《营造法式》的“材分°制”和清工部《工程做法》的“斗口制”中所蕴含的√2比例进行了进一步探讨。他指出《营造法式》规定的足材（21分°）与单材（15分°）之比为7:5（图7），约为√2（所谓“方五斜七”）；散斗立面长（14分°）与高（10分°）之比为7:5，约为√2；清工部《工程做法》单材高（14分°）与斗口（10分°）之比为7:5，约为√2。

图7 张十庆的《营造法式》足材与单材比例分析图

　　通过王贵祥、张十庆等学者的研究，√2比例在中国古建筑大木构架中得到较为广泛运用的事实已经逐渐被揭示出来。

　　值得注意的是，王贵祥的研究中援引了日本学者关于√2比例的讨论，如小野胜年在1964年与中国文物界学者的交流会中就曾指出：“里尺，就是指日本木匠所用的曲尺。这个名字来自它的刻度和普通尺的刻度有√2的关系”；“至于（法隆寺）各堂的大小，也有一定的比例的说法。例如，塔的基坛的对角线的长度等于金堂的进深；把金堂的进深或对角线的长度当做讲堂的宽度或进深的长度等。”张十庆进一步指出日本对“方五斜七”（约为1：√2）这一惯常比例的运用：“同属东亚文化圈的日本，自古以来也注重和习用这一比例关系，并视其为日本的传统比例形式，称之为‘大和比’。现代日本学者更有称其为白银比，与西方黄金比并提”。张十庆还列举了法隆寺中门面阔（34尺）与进深（24尺）之比约为√2，法隆寺五重塔底层明间面阔与次间面阔之比为10:7，约为√2（所谓“方七斜十”）等实例。本文“附录”对11座典型的日本木构佛塔进行了构图比例分析，同样发现大量运用√2比例的手法。

　　本文对各类佛塔构图比例的研究，采取对实测图进行几何作图与实测数据分析相结合的方法（很大程度上是对陈明达、傅熹年、王贵祥等学者研究方法的延续）。文中选取的案例，绝大部分都同时有实测图与实测数据可供参照，而对实测数据的分析计算，全都标明了与理论值（如√2、7:5、10:7等）的吻合度（百分比），并且本文所收录的实例，实测数据分析结果与理论值的吻合度绝大部分均高于98%，且大部分超过99%——将实测数据分析与几何作图结果互相参照，对于分析所得结论能有既理性又直观的把握。

　　中国古代佛塔因其外观造型的多样性，构图手法也随之变化多端，即便同样是运用基于方圆作图的√2比例，手法亦不拘一格。而除去方圆作图比例之外，还有不少常用的其他构图比例。以下将分门别类进行实例分析，依次为楼阁式塔13例、密檐式塔10例、单层塔4例、覆钵式塔（即喇嘛塔）11例、金刚宝座塔2例、楼阁与覆钵混合式塔1例。

一 楼阁式塔

　　佛塔之天竺（印度）原型称“窣堵坡”（即梵文stupa的音译，为玄奘所译），为建于台基上的半球形圆坟，因形如一只倒扣的碗，因此中国古代亦称之为“覆钵”，其上有方形宝匣（乃奉藏舍利之所在），再上树立带数层圆盘状伞盖（亦称相轮）的刹杆，典型实例如桑奇大塔。窣堵坡于汉代随佛教传入中国，逐渐与中国传统建筑融合：《后汉书·陶谦传》中记载的东汉初平年间（190—193）丹阳人笮融所建之塔“上累金盘，下为重楼”，即将窣堵坡原型缩小，置于方形的多层楼阁之上，遂形成中国特有的楼阁式塔（如果将缩小的窣堵坡置于单层建筑上则形成下文所要讨论的单层塔）。多层楼阁屋顶上方的窣堵坡，演化成为佛塔的塔刹，其中窣堵坡的方台变为须弥座，半球形圆坟变为覆钵，刹杆上的多层圆盘称相轮。

　　

　　塔刹（天竺原型）与重楼（中国原型）形成全新的楼阁式塔之整体造型，并且在平、立、剖面设计中皆有十分精妙的构图比例。以下分别探讨木构、石枋木构、砖仿木构和砖木混合结构的各类楼阁式塔实例。

　　

（一）木塔

　　

1 山西应县佛宫寺释迦塔（辽清宁二年，1056年）

　　山西应县佛宫寺释迦塔，即著名的应县木塔，是中国现存最古老、规模最大的木塔，同时也是全世界最高大的木塔，价值无与伦比。

　　木塔平面为八角形，每面三开间，高五层，首层带副阶一周，故外观共出檐六重。首层以上，每层皆有平坐、屋身及屋檐，且逐层缩进，顶层覆以八角攒尖屋顶，上立铁刹。全塔立于双重石基之上。平面设内、外柱各一周，外柱二十四根，内柱八根。木塔外观五层，实际内部每两层之间有一暗层，位于平坐和腰檐之后，故实为九层。

　　通过对陈明达《应县木塔》一书中实测图与清华大学建筑学院中国营造学社纪念馆藏营造学社实测图进行几何作图，以及实测数据分析，可得如下结论。

　　（1）正立面、剖面

　　

　　总高（66.67米）：首层通面阔（23.36米）=2.854≈20:7（吻合度99.9%）；2.854≈2√2（吻合度为99.1%）。——由此可知应县木塔正立面（剖面）高宽比约为2√2（以“方七斜十”代替1:√2），从下文分析可知这是中国古代佛塔中较常见的构图比例。

　　总高（66.67米）：顶层檐柱柱头以下高（46.83米）=1.424≈10:7（吻合度99.7%）；1.424≈√2（吻合度为99.3%）。

　　

　　顶层檐柱柱头以下高（46.83米）：首层通面阔（23.36米）=2。

　　综上可知，应县木塔首层通面阔：顶层檐柱柱头以下高：总高=1:2:2√2。

　　如果以总高的1/20即3.33米为正立面模数网格，则：总高20格。正立面由下而上，副阶檐口高3格，二层平坐柱头高5格，二层檐口高7格（等于首层通面阔），顶层檐柱柱头高14格（图8）。

图8 应县木塔立剖面分析图

　　（2）平面

　　

　　首层内筒内径（10.25米）：外筒内径（20.76米）：下层方形台基边长（平均值40.65米）=1：2.03：3.97≈1：2：4。如果取辽代1尺=29.4厘米，三者分别合3.49丈，约3.5丈（吻合度99.7%）；7.06丈，约7丈（吻合度99.2%）；13.83丈，约14丈（98.9%）（图9）。

　　

图9 应县木塔平面分析图（一）

　　

　　上层八角形台基总宽35.47米，合12.06丈，约12丈（吻合度99.5%），边长合5丈；首层通面阔23.36米，合7.95丈，约8丈（吻合度99.4%）。上层八角形台基总宽（35.47米）：首层通面阔（23.36米）=1.518≈3：2（吻合度98.8%）（图10）。

　　

图10 应县木塔平面分析图（二）

　　综上可知：木塔首层平面（不含副阶）八角形内径（即通面阔）8丈，上层八角形台基内径12丈（边长5丈）；内筒内径3.5丈，外筒内径7丈，下层方形台基边长14丈——首层平面有着十分清晰的比例关系。

　　（3）首层、二层剖面

　　

　　首层层高+二层层高=14.65+8.84=23.49米，首层通面阔23.36米，二者基本相等（吻合度99.4%），皆为8丈左右。

　　内槽通面阔（12.94米，合4.4丈）：外槽通面阔（23.36米，合8丈）=0.554≈5：9（吻合度99.7%）。

　　 内槽通面阔（12.94米）：二层平坐柱头距台基地面（12.93米）≈1（吻合度接近100%）。

　　内槽通面阔（12.94米）：内柱高（9.05米）=1.43≈10:7（吻合度99.9%）；1.43≈√2（吻合度99%）——可知首层佛像净高与内柱高基本相等（图11）。

　　

图11 应县木塔首层、二层剖面分析图

　　（4）三层剖面

　　

　　木塔三层是除了首层之外比例关系尤为清晰的一层：

　　外槽边长8.83米，合3丈；

　　外槽边长（8.83米）：层高（8.85米）=0.998≈1（吻合度99.8%）；

　　外槽通面阔（21.3米）：内槽通面阔（12.42米）=1.715≈（1+√2）：√2（吻合度99.5%）；

　　

　　内槽通面阔（12.42米）：层高（8.85米）=1.403≈7:5（吻合度99.8%）；1.403≈√2（吻合度99.2%）（图12）。

　　

图12 应县木塔三层剖面分析图

　　

　　（5）塔刹

　　

　　塔刹高（11.77米）：首层通面阔（23.36米）=0.504≈1：2（吻合度99.2%）。

　　（6）全塔各部分高度

　　基座4.4米，合1.497丈，约1.5丈（吻合度99.8%）；

　　首层层高14.65米，合4.98丈，约5丈（吻合度99.6%）；

　　二层层高8.84米，合3丈；

　　三层层高8.85米，合3.01丈，约3丈（吻合度99.7%）；

　　四层层高7.83米，合2.66丈；

　　五层层高10.01米，合3.4丈；

　　塔刹高11.77米，合4丈。

　　

　　综合以上（1）~（6）所述：应县木塔是在立面、剖面乃至首层主佛像设计中综合运用√2构图比例的杰作。木塔设计的关键是令总高与首层通面阔（不含副阶）之比为20：7（约2√2）。此外，首层通面阔（8丈）等于首层地面至三层（即中间层）地面的距离（5丈+3丈）；等于顶层檐柱柱头高（16丈）的二分之一；塔刹高（4丈）则等于首层通面阔的一半；上层八角形台基通面阔（12丈）是首层通面阔（8丈）的1.5倍，且八角形台基边长（5丈）等于首层层高——以上皆是简洁而完美的构图比例设计。因此，首层通面阔8丈为应县木塔设计中一个极为重要的模数——这一规律还将在下文大量其他佛塔中见到。

　　除了整体高宽比为2√2之外，木塔局部还有大量经典的比例关系：如首层内槽通面阔（等于二层平坐柱头至首层地面距离）与内柱高之比为√2；首层外槽通面阔（8丈）与内槽通面阔（4.4丈）之比为9：5；首层平面内筒内径：外筒内径：方形大台基边长为1：2：4——足见木塔首层的平、剖面设计是全塔设计的关键内容，决定了木塔的很多基本比例关系。

　　值得一提的是，陈明达、傅熹年曾经先后指出应县木塔第三层（即中间层）每面面阔8.83米（合3丈）是木塔设计的重要模数，并且木塔总高略大于第三层每面面阔的7.5倍（约7.625倍）或副阶檐柱高的15倍。事实上，木塔三层的确设计得非常完美，除了边长及层高均为3丈之外，内槽通面阔与层高之比为√2，外槽通面阔与内槽通面阔之比为（√2+1）：√2。因此，结合上述讨论与二位先生的研究，似乎可以认为，首层与三层都是应县木塔设计中十分重要的因素，而8丈与3丈也都是木塔设计的重要模数。

　　不过如果单就总体“高宽比”的控制效果而言：总高为首层通面阔的20/7（约2√2）倍（即以“总高”与“总宽”相比），似乎要比总高为第三层每面面阔的7.625倍（或者等于三层平面内接圆周长）更直观，也更易于达到所要追求的高宽比效果。特别是结合下文分析的一系列佛塔的高宽比及√2比例的运用来看，应县木塔高宽比等于2√2的构图似乎更有可能是其造型设计的根本意图。

（二）石塔

　　

1 山西大同云冈石窟第21窟塔心柱（北魏）

　　

　　云冈第21窟塔心柱下为基座，中为石雕仿木结构楼阁式五重塔，各层均方五间，顶层屋檐与窟顶之间雕纹饰。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。

1）总高：首层檐口以上高=√2。

2）总高：首层通面阔=3。

3）总高自下而上：六分之一在台基顶部；三分之一在二层地面；二分之一略高于三层（即中间层）地面；六分之五在顶层阑额上皮（图13）。

图13 大同云冈石窟第21窟塔心柱正立面分析图

2 山西大同云冈石窟第2窟塔心柱（北魏）

　　

　　云冈第2窟塔心柱下为基座，中为石雕仿木结构楼阁式三重塔，各层均方三间，周回廊，顶层屋檐与窟顶之间雕方形天盖与须弥山，底层塔身残损较严重。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，可得如下结论。

　　1）总高：方形天盖与须弥山以下高=√2。

2）总高：首层通面阔（不含副阶）=3。

3）总高自下而上：三分之一在二层地面；三分之二位于三层檐口（图14）。

图14 大同云冈石窟第2窟塔心柱正立面分析图

　　以上二塔虽为石仿木结构塔心柱，但其基本构图手法很可能在一定程度上反映了北魏楼阁式木塔的设计规律（本文附录中略晚于云冈北魏石塔的飞鸟时期日本楼阁式木塔中可以见到类似的构图手法）。

　　

3 浙江杭州闸口白塔（五代末期）

　　

　　杭州闸口白塔约建于北宋初建隆至开宝年间（960—975），其时杭州尚为吴越国钱氏辖区，故斯塔可视作五代末期建筑。闸口白塔为八角九层楼阁式石塔，通体仿木构，细致入微。

　　通过对梁思成《浙江杭县闸口白塔及灵隐寺双石塔》（载于《梁思成全集》第三卷）中的实测图（刘致平测绘）进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。

　　

　　（1）正立面总高与台基总宽

　　

　　总高14.117米，如果取1尺=29.4厘米，合4.8丈；最下层台基总宽5.007米，合1.7丈。

　　

　　总高（14.117米）：最下层台基总宽（5.007米）=2.819≈2√2（吻合度99.7%）——由此可知，闸口白塔整体高宽比与应县木塔相近，不同的是闸口白塔总宽取台基，而应县木塔总宽取首层通面阔。

　　总高（14.117米）：塔刹高（2.37米）=5.96≈6（吻合度99.3%）。

　　总高的二分之一约位于第五层（即中间层）楼面（图15）。

　　

图15 杭州闸口白塔立面、剖面分析图

　　（2）正立面净高与首层通面阔

　　

　　最下层台基高1.3米，土衬石加须弥座高1.35米，其中须弥座高1.02米，故土衬石高0.33米，因此塔净高即土衬石以上高=14.117-1.3-0.33=12.487米。

　　塔净高（12.487米，约合4.2丈）：首层通面阔（2.065米，合0.7丈）=6.047≈6（吻合度99.2%）。

　　塔净高6倍于首层通面阔比之塔总高2√2倍于大台基总宽更加能反映闸口白塔的造型特征。

　　（3）平面

　　

　　须弥座总宽（取上枋，2.53米）：最下层台基总宽（5.007米）=0.505≈1：2（吻合度99%）。

　　此外，据傅熹年研究指出，塔身立面（除去塔刹和须弥座）分别以第五层（即中间层）每面面阔A与首层柱高H1为模数，其中塔刹底部至须弥座顶面为15A，顶层檐口至须弥座顶面为15H1。

　　综上可知：闸口白塔的设计综合考虑了总高与大台基总宽、净高与首层通面阔、塔身与中间层每面面阔和首层柱高的比例关系。由于全塔从整体到局部都高度写仿木塔形制，故其所体现的比例关系应该在较大程度上反映了五代末期楼阁式木塔的设计规律，十分难能可贵。

4 福建泉州开元寺仁寿塔（南宋嘉熙元年，1237年）

　　

　　泉州开元寺双塔，西塔称仁寿塔，东塔称镇国塔，均为八角五层楼阁式石塔，通体仿木结构，是中国现存规模最大的双石塔。

　　通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中的实测图进行几何作图，以及对《泉州东西塔》（1992）一书中所载福建省测绘局1986年实测数据进行分析，可得如下结论。

　　（1）正立面

　　总高（45.06米）：首层塔身周长（44.48米）=1.013≈1（吻合度98.7%）——类似《营造法原》记载的塔高与塔围关系（不过塔围不取书中所述的阶基周长，而取首层塔身周长）。

　　首层通面阔=44.48/8×（1+√2）=13.422米。

　　故总高（45.06米）：首层通面阔（13.422米）=3.36≈10：3（吻合度99.1%）——实际上，所有符合总高等于首层塔身周长的八角形塔，同时也满足总高：首层通面阔=8：（1+√2）=3.314≈10：3（吻合度99.4%）。

　　顶层檐口高=8.53+6.65+5.79+5.56+4.9=31.43米。

　　总高（45.06米）：顶层檐口高（31.43米）=1.43≈10：7（吻合度99.9%）；1.43≈√2（吻合度98.9%）——可知顶层檐口高与塔总高呈“方七斜十”的比例关系（图16）。

　　

图16 泉州开元寺仁寿塔正立面分析图

　　（2）正立面模数网格

　　

　　如果取A=总高/100=0.4506米作为正立面模数网格，则：

　　塔总高100A；

　　一层层高（含台基）8.53米，合18.9A≈19A（吻合度99.5%）；其中台基3A，一层净高16 A；

　　二层层高6.65米，合14.8A≈15A（吻合度98.7%）；

　　三层层高5.79米，合12.8A≈13A（吻合度98.5%）；

　　四层层高5.56米，合12.3A≈12A（吻合度97.6%）；

　　五层层高4.9米，合10.9A≈11A（吻合度99.1%）；

　　屋顶加塔刹高10.65+2.98=13.63米，合30.2A≈30A（吻合度99.3%）；

　　首层通面阔13.422米，合29.8A≈30A（吻合度99.3%）；

　　二层总宽（至柱外侧）28A，三层总宽（至柱外侧）26A，四层总宽（至柱外侧）24A，五层总宽（至柱外侧）22A——故塔身立面从首层至五层每层内径向内收进2A（即塔高的1/50）。

　　（3）平面

　　台基外接圆直径（取上枋）：外壁内切圆直径=√2；

　　外壁内切圆直径：内壁外接圆直径=√2；

　　台基八角形为内壁八角形边长之2倍；

　　内壁内切圆直径：塔心柱外接圆直径=2。

　　整个石塔平面呈环环相套的构图，一如应县木塔（图17）。

　　

图17 泉州开元寺仁寿塔平面分析图

　　此外据傅熹年研究指出，塔身立面（除去塔刹和须弥座）分别以第三层（即中间层）每面面阔与首层柱高为模数，其中塔刹底部至台基顶面为前者的7倍，顶层檐口至台基顶面为后者的7倍。

　　综上可知：开元寺仁寿塔是从整体到局部、从平面到立面综合运用√2构图比例的又一完美杰作，同时亦是类似《营造法原》所载佛塔设计手法的典型实例，即总高等于塔围（取首层塔身周长）；并且该塔以A（总高的1/100）作为立面设计的基本模数，台基、首层至五层、屋顶加塔刹的高度分别为3A、16A、15A、13A、12A、11A和30A，而首层至五层的总宽（首层取通面阔，其余各层取柱外侧间距）分别为30A、28A、26A、24A、22A，其中三、四、五层塔身高宽比均为1:2。

（三）砖塔及砖木混合塔

　　

1 山西五台山佛光寺祖师塔（北齐或隋）

　　

　　佛光寺祖师塔为六角二层楼阁式砖塔。通过对梁思成《图像中国建筑史》（英文版，1984）一书中的实测图进行几何作图，可得如下结论。

　　

　　1）总高：首层塔身以上高=√2。

　　2）总高：首层塔身总宽=2。

3）首层塔身直径：首层屋檐直径=1：√2；首层塔身以上高：首层屋檐直径=1。

4）如果取A=总高的1/10作为正立面模数网格，则首层塔身直径5A，首层屋檐直径（等于首层塔身以上高）7A，总高10A（图18）。

图18 佛光寺祖师塔正立面分析图

　　综上可知：佛光寺祖师塔的首层塔身直径、首层屋檐直径（等于首层塔身以上高）与总高构成1：√2：2的完美比例关系。

　　

2 陕西西安慈恩寺大雁塔（唐—明）

　　

　　慈恩寺大雁塔始建于唐永徽三年（652），是唐高宗为安放玄奘西行由印度取回的佛教经典而建，原为五层，砖表土心。唐长安年间（701—704）改建为方形七层空心砖塔；大历年间（778—779）又改作十层，后经战火破坏，剩下七层。后世多次重修，尤其是明万历年间，对残破的塔身加砌砖面，形成今日之格局。塔方形七层，矗立在高大的台基之上，整体比例粗壮雄强。各层以壁柱划分开间，以叠涩形成腰檐，首层、二层面阔九间，三、四层面阔七间，五、六、七层面阔五间。

　　通过对《陕西古建筑》（2015）一书中的实测图进行几何作图以及实测数据分析，可得如下结论。

　　

　　1）总高（64.5米）：台基总宽（45.7米）=1.411≈√2（吻合度99.8%）；总高：二层塔身柱头以上高=√2。

2）总高（台基以上）：台基顶宽=√2；总高（台基以上）：第六层柱头距台明距离=√2。

3）总高（64.5米）：首层边长（25.5米）=2.529≈5：2（吻合度98.9%）；首层边长（25.5米）：首层层高（10.36米）=2.46≈5：2（吻合度98.5%）——故首层高宽比与整体高宽比互为倒数。

4）各层层高分别为：首层10.36米，二层7.37米，三层7.15米，四层6.65米，五层6.7米，六层6.4米，七层5.2米。

　　

　　首层层高（10.36米）：二三层平均层高（7.26米）=1.427≈√2（吻合度99.1%）。

　　四五六层平均层高（6.583米）：二三层平均层高（7.26米）=0.907≈9：10（吻合度99.2%）。

　　七层层高（5.2米）：首层层高（10.36米）=0.502≈1：2（吻合度99.6%）（图19，图20）。

　　

图19 西安大雁塔正立面分析图（一）

图20 西安大雁塔正立面分析图（二）

　　综上可知：大雁塔亦是在整体和局部熟练运用√2比例的杰作。

　　

3 江苏苏州虎丘云岩寺塔（北宋建隆二年，961年）

　　

　　虎丘云岩寺塔为八角七层砖塔，原为一座带木腰檐及平坐的外观仿木楼阁式砖塔，现腰檐平坐俱毁，仅余砖构，塔身结构采用厚壁双套筒式，内部各层均设有塔心室及回廊。通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中的实测图进行几何作图，可得如下结论。

　　

　　（1）剖面

　　总高（不含塔刹）：首层边长=8——与《营造法原》记载相似。不过鉴于此塔塔刹以及外檐木构均无存，故砖构塔心的比例仅仅反映出局部构图手法，整体比例暂时无法分析（图21）。

　　

图21 苏州虎丘云岩寺塔正立面分析图

　　

　　（2）平面

　　核心筒外接圆直径：内壁内切圆直径=1：√2；

　　内壁内切圆直径：外壁内切圆直径=1：√2。

　　平面呈环环相套构图，一如前述诸塔（图22）。

　　

图22 苏州虎丘云岩寺塔平面分析图

　　另据《中国古代建筑史·第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）一书实测数据，塔总高47.68米，依照上述作图分析，则塔首层边长=47.68/8=5.96米，如果取1尺=29.8厘米（此数值介于唐尺29.4厘米和北宋尺30.5厘米~31厘米之间），塔首层边长合2丈，塔高合16丈。

4 江苏苏州罗汉院双塔（北宋太平兴国七年，982年）

　　

　　苏州罗汉院双塔一名功德塔，一名舍利塔，形制相同，均为八角七层仿木楼阁式砖塔。通过对《中国古代建筑史 第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）及梁思成《图像中国建筑史》（英文版，1984）中的实测图进行几何作图，可得如下结论。

　　（1）东塔正立面

　　

　　总高（台基以上）：一层每面面阔=15。

　　塔刹加屋顶高：总高（台基以上）=1：3。

　　总高（台基以上）的二分之一约位于第五层檐口（图23）。

　　

图23 苏州罗汉院双塔正立面分析图

　　（2）西塔二层立、剖面

　　层高：每面面阔=√2；每面面阔：柱高=√2；层高：柱高=2。

　　（3）西塔首层塔心室剖面

　　首层塔心室高：面阔=3：2；平闇盝顶以下高：面阔=√2。（图24）

　　

图24 苏州罗汉院西塔首层塔心室剖面及二层立、剖面分析图

5 内蒙古巴林右旗辽庆州释迦佛舍利塔（辽重熙十八年，1049年）

　　

　　辽庆州释迦佛舍利塔俗称庆州白塔，建于辽圣宗庆陵的陵邑庆州。塔为八角七层楼阁式砖塔，塔身刷白色，因而得名。其建塔碑上记载了主持建塔的塔匠都作头寇守辇、副作头吕继鼎及窑坊、雕木匠、铸相轮匠、铸镜匠、锻匠、石匠、贴金匠等各工种作头的姓名，难能可贵。

　　通过对《中国古代建筑史 第三卷：宋、辽、金、西夏建筑》（第二版，2009）一书中实测图进行几何作图，及《辽庆州释迦佛舍利塔营造历史及其建筑构制》（《文物》1994年12期）一文中的实测数据进行分析，可得如下结论。

　　1）总高（第二层台基以上）：首层塔身每面面阔=8——与《营造法原》记载相似。

2）总高（第二层台基以上）的二分之一位于第四层（即中间层）地面。

3）塔刹加屋顶高：总高（第二层台基以上）=1：4；塔刹高：总高（第二层台基以上）=3/16（图25）。

4）据实测数据，塔下两层台基高3.8米，台基以上至刹顶高69.47米，则塔总高73.27米，如果取辽代1尺=29.4厘米，则塔总高合24.92丈，约25丈（吻合度99.7%）。

图25 内蒙古辽庆州白塔正立面分析图

　　此外，傅熹年研究指出：柱脚至顶层檐口高为第四层（即中间层）边长的7倍，而柱脚至塔刹底高为首层柱高之13倍。

　　综上可知：庆州白塔的立面设计从整体到局部兼顾了总高（二层台基以上）与首层边长、塔刹以下高与柱高、顶层檐口高与中间层边长三组比例关系。

　　

6 河北定县开元寺料敌塔（北宋咸平四年至至和二年，1001—1055年）

　　

　　开元寺料敌塔创建于北宋咸平四年（1001年），至和二年（1055年）建成，历时五十余载。塔为八角十一层砖塔，通高84.2米，取1尺=30.5厘米，合27.6丈，是中国现存最高的砖塔。

　　通过对《中国古代建筑史》（第二版，1984）一书中实测图进行几何作图，以及对刘敦桢《河北定县开元寺塔》（载于《刘敦桢全集》第十卷）一文中的实测数据进行分析，可得如下结论。

　　（1）剖面

　　总高（台基以上，79.92米）：首层塔身边长（9.99米）=8——塔高与塔围（取首层塔身周长）相等（此点刘敦桢《河北定县开元寺塔》一文已指出）。

　　总高（台基以上）：塔刹高=8。

　　八层地面至塔顶高：总高（台基以上）=3:8（图26）。

　　

图26 河北定州料敌塔正立面分析图

　　（2）平面

　　核心筒内切圆直径：内壁外接圆直径=1：√2；